当一面墙打翻了另一面墙 想象一下你站在一个房间里，手里拿着一块庞大的黑板。你站在黑板前，身体正对着黑板，脚下踩的是地面。

这时候，黑板和你的身体是平行的，它们俩之间夹着空气，距离大约是半米多。

这就是我们常说的两个平面“平行”。

这时候，要是你把那块黑板突然往回一推，要么往两边一掰，让它跟你的身体成个九十度角，那就忒离谱了，出于黑板不可能直接脸对脸，要不就你跳起来，要么地面塌了。

这时候，黑板就倾斜了，它和地面不再平行，就连可能互相“打仗”，把各自所在的房间切得支离破碎。

这种被阻断、被回绝的状态，在数学上就是两个平面垂直。 这就好比拿一把尺子去量墙角。当你把尺子的一个面紧贴着地面，把另一个面贴着那堵垂直的墙时，你会发现，这个角恰好是个直角，90 度。

这个角是尺子自带的，是物理世界的刚性结构拍板的。

要是墙再大一点，还是那个直角；要是墙再小一点，还是那个直角。

不管墙有多高多宽，只要它垂直于地面，这个角就不会变。

这就是我们定义空间里“垂直”最直观的直觉：两个面要是不顺着对方的方向，互相对峙，那就垂直。 可是，咱们真到了真空中，在三维空间里，光靠“互相对峙”还说得那会儿。毕竟要是两个东西都垂直于第三个东西，那它们也不一定垂直呢？比如你站在一个十字路口，人行道是你脚下，马路是你右边。

这时候，人行道垂直于马路，马路也垂直于人行道，它们俩是互相垂直的。

可是，要是你站在马路中间的那条路，这条路既垂直于人行道，也垂直于马路，但它跟人行道和马路的关系如何算呢？这里有个挺妙的例子：你站在十字路口正中央，你的脚下（比如脚踏车道）垂直于马路，马路垂直于人行道，那脚踏车道和马路之间，实际上也是“垂直”的，出于它们都分别垂直于各自相邻的一个平面，这就构成了互垂直关系。 这就引出了最让人头疼的“反直觉”情况。假设你手里拿着两个彻底一样的直角三角形板，一个是等腰直角三角形，边长是 1 米；另一个也是，可是把其中一个斜边折叠了一下。

这时候，你试着把这两个板子放正，让它们底边重合。你发现，这个角能合上吗？能！它完美地贴合在一起，变成了一个 90 度的直角。

这时候，这两个板子所在的平面就是互相垂直的。

为啥？出于这两个三角形原本就是垂直的，只要底边重合，它们就形成了一个立体的角。 再换个角度想，要是你拿一个正方体。你站在它的左下角，面向它的右上角，这时候你的视线方向垂直于它的底面。目前，你把这个正方体转个身，让它的底面跟你的视线方向平行，这时候底面就垂直于你的视线了。再转个身，让你的视线方向跟底面平行，这时候底面又垂直于你的视线。

这时候，正方体的底面、侧面、顶面，每一个面都跟它自己相邻的一个面垂直。

你看，这就好比把书打开，书页之间是平行的，书页覆盖在桌面上是垂直的，书页封面和桌面上的角也是垂直的。所有的角都是 90 度，这说明它们之间存有着一种和谐且严格的垂直关系。 可是，要是我们要证明两个平面确实垂直，光看角是不是 90 度还是不够的，出于有时候两个平面可能看起来像垂直，但实际上只是“擦着皮碰了个角”，并没有真正的“垂直”关系。

这就好比两辆赛车在平直的高速公路上并排开，它们的轨迹平行，但速度可能不一样，这时候它们是平行的，不是垂直的。

故此，要证明一个平面垂直于另一个平面，一般得用投影法。 你要找两个互相垂直的平面，那就得找一个第三个平面，它能把它们都“截”下来。把这个平面搞定来，你发现，被截下来的两个图形确实都是直角三角形，且夹角是 90 度。

这时候，中间的角就是 90 度了，说明这两个被截下来的面确实垂直。 再举个例子，我们要证明“斜二测画法”里的一个平面的垂直关系。在立体几何里，我们时常画一个斜二测图，把正方体的棱长压扁。

这时候，你会看到，正方体的前面和顶面在图上画成了正方形，它们肯定是平行的。

可是，正方体的一个前面（比如正面）和它的顶面（比如上面），在图上画的时候，顶面的下边缘和正面的上边缘是相交的，并且夹角看起来像 90 度。

这就有点怪了，出于按照立体几何，顶面和正面本来应当是垂直的。

这时候，要是我们用投影法，把这个正方体的所有顶点投影到一个新的平面上，你会发现，投影出来的这个新图形里，顶面的前边缘和正面的上边缘确实形成了直角。

也就是说，别看它们在斜二测图上的画法看起来不垂直，但在真的立体空间中，它们确实是垂直的。

这个例子证明白，判断两个平面是否垂直，不能只看它们在一个斜平面上的投影，务必回到真正的立体空间里去验证。 还有一些特殊的例子，比如两个球心重合的同心球。

这时候，任何切球给这个球体的平面，只要切点相同，这两个切球之间肯定是垂直的。出于它们的曲率是一样的，切面就像切蛋糕一样，每一刀的角度都一样，故此它们之间没有“斜角”，只有纯粹的垂直。 还有一个贼有意思的例子，是两个等腰直角三角形拼成的房子形状。你能够画一个三角形，底边 2 米，高 1 米。再画另一个三角形，底边也是 2 米，高也是 1 米，可是把其中一个三角形旋转了 90 度。

这时候，这两个三角形所在的平面，你拿一把标准尺子去量，你会发现它们之间的夹角确实是 90 度。

这是出于这两个三角形本身在空间中就是垂直放置的，底边重合后形成的立体角，其顶角自然就是 90 度。 最终，我们要回到最根本的定义。在三维空间中，两个平面要是相交，它们的交线是一条直线。

要是这两个平面不垂直，那么它们相交形成的四个角里，起码会有两个角不是 90 度，一个大于 90 度，一个小于 90 度。

只有当两个平面垂直时，它们相交形成的四个角里，全是 90 度，并且每个角都是平角被平分后的结局。 想象一下，要是你把两个平面像打开的门一样打开，直到它们彻底垂直。

这时候，门板（平面）和门框（交线）的关系就固定了。

要是你再往里面推门，要么往外拉门，门就会倾斜，那个夹角就会变成锐角或钝角。

这就是垂直的极端状态。任何比 90 度小一点的角，看起来都像是在“打架”，互相冲突；任何比 90 度大一点的角，看起来都像是在倒着打架，也是冲突的。

只有 90 度，才是和平与和谐的结晶。 故此，当我们说两个平面垂直时，我们不只是是说它们相交成直角，我们是在说它们之间彻底地“决裂”——在光影、在空间感、在它们彼此定义的几何世界里，它们彻底地互斥，互不兼容，除了那个完美的、不容置疑的 90 度角之外，没有任何其他可能性。

这就是平面与平面垂直的核心，好办、直接、干脆利落。